方程（equation）在数学之中有着很高的地位，我们常见的有一次、二次和三次方程等等，并且我们还能通过部分方程的求根公式来进行求解方程的根。本文主要针对的是一般性的一元 n 次复系数方程，即是满足下图的方程：
那么由高斯定理可知，满足上式该 n 次系数方程的根就有且仅有 n 个。注意：根据伽罗瓦群理论，五次及五次以上方程没有求根公式，即不能以代数数的形式写出方程的根，但是不是说这种方程没有解，使用超越函数（如三角函数、对数函数等）还是可以表示该方程的解。但是有的时候我们求解某些方程过于繁琐，且存在约束条件的情况下并不需要完全求解方程，而且若是含有超越数（如圆周率 π、自然常数 e 等）的方程，求解过程也会略显困难。因此人们想要另辟蹊径，想要找寻其他高效的方式来求解方程，在此期间涌现出了大量的求解方法如：二分法、不动点迭代等。本文主要介绍另一种优化的不动点迭代法——牛顿迭代法（Newton-Iterative-Method）。
牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解，可见它的重要性。其方法基本原理如下：
设 f(x) ∈ C² [m，n]，对 f(x) 在 x₀ ∈ [m，n] 领域内对其进行泰勒展开，得如下结果：
舍去二次项，得到 f(x) 的线性近似式：
这也是关于 x₀ 这一点的切线方程，由此得到方程 f(x) = 0 的近似解：
即可得出关于 x 的迭代格式：
在此给出关于牛顿法的几何意义：牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于 f(x) 的线性化近似函数是曲线 y ＝ f(x) 过点（x₀，f(x₀)）的切线而得名的，将该零点代之 f(x) 的近似方程以求的零点，即切线 T 与 X 轴交点的横坐标，真实的根值为 X* ，牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。
那么牛顿迭代法是收敛的吗？或者说是否对于任意的初始值 x₀ 都能够保证该迭代的结果收敛到 X* ？下面将通过代数解析的方式来说明其收敛性：
将牛顿迭代式写成如下形式，即可获得的不动点迭代形式：
这样就可以应用不动点迭代的收敛原则，只须证明在根 β 附近的迭代函数是一个压缩映象，即可证明其收敛性。由于
这里的根 β 是单根，即 f( β ) = 0 且 f ' (β) ≠ 0，于是：
由于 γ (x) 的连续性可知，存在一个领域（ β - δ，β + δ )，对该领域内的任意 x ，都有 | γ' (x) < q |，其中 0＜q＜1，因此 γ (x) 为区间（ β - δ，β + δ ) 上的一个压缩映像，于是我们可以得到如下结论：
由此可见，牛顿迭代法的局部收敛性较强，所以只有初值充分地接近，才能确保所迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加能够使该序列收敛的充分条件，
上式可以化为以下几种情况：
其中 ① 保证了零点的存在性；② 保证了函数的单调性，同时也保证了在 区间[ a，b ] 内有唯一的零点；③ 保证函数的凹凸不会改变，④ 与 ③ 保证了每一次的迭代生成的值都在区间 [a，b] 之中；反映到图像上如下：
若选取初始值不满足上述条件时，会出现越迭代越远甚至死循环的情况，比如下图这些情况：
介绍完牛顿法的性质和原理，那么我们能够用它来做些什么呢？即前面说到可以用来进行方程的求解。假设给定正数 a ，建立如下关系式：
则 f(x) = 0 的正数解就是其算术平方根。那么用牛顿迭代公式可得：
由于当 x ＞ 0 时，f ' (x) = 2x ＞ 0，f '' (x) = 2 ＞ 0，故由收敛定理可知，对于任意满足条件 x₀ > √a 的初始近似值，由选代公式所产生的序列必定收敛于 √a 。
下面我们使用程序(TypeScript)来进行开平方运算：
